БМФ будут в билете ниже.

+ Главные аксиомы о границах.

1. Предел константы равен этой же константе;

2. Постоянный множитель можно вынести за предел;

3. Предел суммы функций равен сумме пределов функций;

4. Предел произведения функций равен произведению пределов функций;

5. Предел личного функций равен личному пределов функций;

6. Предел показательно-степенной функции равен лимиту показателя в степени, равной лимиту степени начальной БМФ будут в билете ниже. функции.

++Виды неопределённостей. Вычисление неопределённостей.

++1-ый превосходный предел. 2-ой превосходный предел.

+ Нескончаемо малые функции. Нескончаемо огромные функции.

α(x) – нескончаемо малая при x → x0, если предел равен 0.

Аналогично U(x) – нескончаемо большая при x → x0, если предел равен бесконечности.

+ Выделение главной части нескончаемо малых и нескончаемо огромных функций.

Если α(x) и БМФ будут в билете ниже. β(x) нескончаемо малые при x → x0 и β(x) эквивалентна C(α(x))k, где C != 0 и k – константы, то C(α(x))k – основная часть β(x), k – порядок β(x) относительно α(x).

· x0 – константа, β(x) эквивалентна C(x – x0)k

· x0 – бесконечность, β(x) эквивалентна C(1/x)k

Если U(x) и ψ(x) нескончаемо огромные БМФ будут в билете ниже. при x → x0, а ψ(x) эквивалентна C(U(x))k, где C != 0 и k – константы, то C(U(x))k – основная часть ψ(x), k – порядок ψ(x) относительно U(x).

· x0 – константа, ψ(x) эквивалентна C(1 / (x – x0))k

· x0 – бесконечность, ψ(x) эквивалентна C(x)k

Для выделения главной части нескончаемо БМФ будут в билете ниже. малых и нескончаемо огромных функций употребляют последующие аксиомы:

1. Если предел функции f(x) равен С – константе, C принадлежит интервалу (0, inf), то f(x)α(x) эквивалентна Cα(x) при x → x0

2. Если α(x) эквивалентна α1(x) и β(x) эквивалентна β1(x) при x → x0, то:

a. α(x)β(x) эквивалентна α1(x)β1(x)

b. α(x) / β(x БМФ будут в билете ниже.) эквивалентна α1(x) / β1(x)

3. Если α(x) эквивалентна β(x) и β(x) эквивалентна γ(x) при x → x0, то α(x) эквивалентна γ(x)

4. Сумма нескончаемо малых функций различного порядка эквивалентна нескончаемо малой функции наименьшего порядка

5. Сумма нескончаемо огромных функций различного порядка эквивалентна нескончаемо большой функции большего порядка

+ Сопоставление нескончаемо малых функций. Эквивалентные нескончаемо малые.

Если БМФ будут в билете ниже. необходимо сопоставить нескончаемо малые и нескончаемо огромные функции, то необходимо сопоставить порядок этих функций.

+ Определение непрерывности функции одной переменной.

f(x) непрерывна в точке x0, если:

1. f(x) определена в точке x0;

2. Есть конечные однобокие пределы в этой точке;

3. Эти пределы равны значению функции в точке x0.

+ Точки БМФ будут в билете ниже. разрыва первого рода функции одной переменной.

Если однобокие пределы в точке не равны, то эта точка – точка разрыва 1-го рода, а величина δ, разница меж пределами, именуется скачком функции.

Если однобокие пределы в точке равны меж собой, но не равны значению функции в точке, то эта точка – точка устранимого разрыва 1-го БМФ будут в билете ниже. рода. Чтоб убрать разрыв, необходимо переопределить либо доопределить функцию в точке разрыва, т.е. ввести новейшую функцию.

+ Точки разрыва второго рода функции одной переменной.

Если однобокие пределы в точке не определены либо равны бесконечности, то эта точка – точка разрыва второго рода.

+ Определение производной. Её физический смысл. Геометрический смысл производной.

Пусть:

· f БМФ будут в билете ниже.(x) задана на (a; b) и x0 принадлежит (a; b)

· Δx – приращение аргумента в x0, Δ(x) принадлежит (a; b)

· Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) – приращение функции

Тогда f’(x0) = lim Δx → 0 (Δy / Δx)

Физический смысл производной: производная от расстояния по времени есть скорость.

Геометрический смысл производной:производная БМФ будут в билете ниже. равна тангенсу угла меж OX и касательной к функции в точке x0.

+ Дифференцируемая функция.

Если f(x), данная на (a; b), имеет конечную производную в точке x0, принадлежащей (a; b), то она дифференцируема в этой точке.

+ Правила дифференцирования.

1. f(x) = const → f’(x) = 0

2. (f(x) ± g(x))’ = f’(x) ± g БМФ будут в билете ниже.’(x)

3. (f(x) * g(x))’ = f’(x) * g(x) + f(x) * g’(x)

4. (cf(x))’ = cf’(x)

5. (f(x) / g(x))’ = (f’(x) * g(x) – f(x) * g’(x)) / g2(x)

++Производные главных простых функций.

± Дифференциал. Его характеристики.

Дифференциал – это приращение графика касательной (понятность определения зашкаливает).

dy БМФ будут в билете ниже. = f’(x) * dx

Характеристики дифференциала (u и v – функции от x, c – константа):

1. d(u ± v) = du ± dv

2. d(uv) = udv + vdu

3. d(cu) = cdu

4. d(u/v) = (vdu - udv) / v2

++Производная сложной функции.

++Производная функций, данных параметрически.

+ Дифференцирование функций, данных неявно.

Пусть дан функционал F(x, y) = 0. Если y = f(x), то функция задана БМФ будут в билете ниже. очевидно, и всё отлично, в неприятном случае возьмём F’(x, y) и выразим y’ через всё остальное.

+ Уравнение касательной к кривой. Угол меж кривыми.

Если f(x) дифференцируема в точке x0, то уравнение касательной в этой точке:

y = f’(x0) * (x – x0) + f(x0)

Углом меж кривыми на БМФ будут в билете ниже. плоскости в их общей точке именуется меньший из 2-ух вероятных углов меж касательными к этим кривым в данной точке. Если уравнения касательных, проведенных к кривым и , соответственно и , то тангенс угла меж кривыми определяется соотношением:

± Вычисление дифференциала. Приближённое вычисление при помощи дифференциала.

Приращение функции представимо в виде:

где функция является БМФ будут в билете ниже. б.м. функцией при стремлении аргумента к нулю. Потому что , то

В силу того, что 2-ое слагаемое является нескончаемо малым, то им можно пренебречь, а потому

А потому что в нахождении дифференциал существенно проще, чем приращение функции, то данная формула интенсивно употребляется на практике.

Для приближенного вычисления значения функции применяется БМФ будут в билете ниже. последующая формула:

++Логарифмическое дифференцирование.

+ Производные высших порядков.

Пусть f(x) дифференцируема на (a; b). Тогда:

f(n)(x) = (f(n-1)(x))’, n – порядок производной.

+ Дифференциалы высших порядков.

Если существует дифференциал n-1-го порядка f(x), то дифференциал n-го порядка:

dnf(x, dx) = f(n)(x)(dx)n

+ Главные аксиомы дифференциального БМФ будут в билете ниже. исчисления. Аксиома Ферма. Аксиома Ролля.

Аксиома Ферма: Пусть f(x) имеет на интервале D точку экстремума x0, причём D содержит некоторую округа x0 (т.е. D = (x0 – δ; x0 + δ)). Тогда f’(x0) = 0 или f’(x0) не существует.

Аксиома Ролля: Пусть f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и непрерывна БМФ будут в билете ниже. в конечных точках a и b. f(a) = f(b) = 0. Тогда найдётся хотя бы одна точка x0 ∈ (a; b), где f’(x0) = 0.
Другими словами, меж 2-мя корнями a и b дифференцируемой функции f(x) непременно найдётся корень x0 её производной.

+ Главные аксиомы дифференциального исчисления. Аксиома Лагранжа. Аксиома Коши.

Аксиома Лагранжа: Пусть БМФ будут в билете ниже. f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и непрерывна в конечных точках a и b. Тогда на (a; b) найдётся точка x0 такая, что:

f’(x0) = (f(b) – f(a)) / (b - a) ↔ f(b) – f(a) = f’(x0) * (b - a) ↔ Δf = f’(x0) * Δx

Аксиома Коши: Пусть x = φ(t), y БМФ будут в билете ниже. = ψ(t), t∈ [α; β] – функция, данная параметрически и дифференцируемая на на (α; β), причём φ’(x) != 0 на t ∈ (α; β). Тогда найдётся t0∈ (α; β) такая, что:

(ψ(β) – ψ(α)) / (φ(β) – φ(α)) = ψ’(t) / φ’(t) – производная параметрически данной функции.

++Правило Лопиталя, его приложение для раскрытия неопределённостей различного вида.

+ Монотонность функции. Признаки монотонности.

f(x) именуется растущей (убывающей) на [a; b], если для БМФ будут в билете ниже. ∀ x1, x2∈ [a; b], удовлетворяющих условию x1>x2, справедливо f(x1) >f(x2) (f(x1)

Признак монотонности: Пусть f(x) дифференцируема на [a; b]. Тогда если f’(x) > 0 (f’(x) < 0) для ∀x ∈ [a; b], то f(x) растет (убывает) на [a; b].

++Исследование функций при помощи БМФ будут в билете ниже. первой производной.

++Исследование функций при помощи 2-ой производной.

+ Исследование функции без вербования производных. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

· Вертикальные асимптоты: x = a, limx → a (f(x)) = inf

· Горизонтальные асимптоты: y = b, limx → inf (f(x)) = const

· Наклонные асимптоты: y = kx + b, k = limx → inf (f(x) / x), b = lim x → inf (f(x) - kx БМФ будут в билете ниже.)

+ Схема построения графиков функций.

1. Отыскать ООФ

2. Чётность и периодичность

3. Корешки и знаки функции

4. Исследование при помощи первой производной: монотонность, экстремумы

5. Исследование при помощи 2-ой производной: неровность, перегибы

6. Асимптоты

7. График


bodibilding-kak-professionalnij-sport.html
bodinamika-lisbet-marcher.html
bodrstvovanie-son-so-snovideniyami-i-glubokij-son.html